"Solución paso a paso de la ecuación: 5*y[x]^2+8*x+5*y[x]*x*y'[x]==0, utilizando la técnica del factor integrante";

"¿Es ecuación diferencial exacta?"
U[x_,y_]=5*(y^2)+8*x
V[x_,y_]=5*y*x
Uy=D[U[x,y],y];
Vx=D[V[x,y],x];
Uy-Vx

"Chequeo de un factor integrante en x";
Chequeo[x_]=((Uy-Vx)/(V[x,y]))

"Obtención del factor integrante";
μ[x_]=(E^(∫Chequeo[x]\[DifferentialD]x))

"Obtención paso a paso de la solución. ¡Ojo!, la integral no incluye constantes";
"Ecuación a resolver: μ[x]*(5*y[x]^2+8*x)+μ[x]*5*y[x]*x*y'[x]==0";

"Primera integración";
SolParcial=∫μ[x]*(5*(y^2)+8*x)\[DifferentialD]x

"Segunda integración";
D[SolParcial,y]
DerC[y_]=D[SolParcial,y]-μ[x]*5*y*x
CC[y_]=K+∫DerC[y]\[DifferentialD]y

"solución final";
SolFinal=SolParcial+CC[y]

"Solución de la ecuación directamente por Mathematica";
sol=DSolve[{5*((y[x])^2)+8*x+5*y[x]*x*y'[x]==0},y[x],x];
sol[[1,1]]

"Obtención y representación de una solución particular";
funcion=sol[[1,1,2]]/.C[1]->2
Plot[funcion,{x,0.1,0.5},PlotStyle->Thick]