"Solución y representación de un sistema de dos ecuaciones de primer orden";

"Soluciones del sistema";
sol=DSolve[{x'[t]==2*x[t],y'[t]==y[t],x[0]==2,y[0]==3},{x[t],y[t]},t];
sol
sol[[1]]
sol[[1,1]]
sol[[1,2]]
sol[[1,1,2]]
sol[[1,2,2]]
{sol[[1,1,2]],sol[[1,2,2]]}

"Representación de la evolución temporal de x(t)";
Soldex=sol[[1,1,2]]
x[t_]:=Soldex
Plot[x[t],{t,0,2},PlotRange->{0,50},AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{t,x},PlotStyle->Thick]

"Representación de la evolución temporal de y(t)";
Soldey=sol[[1,2,2]]
y[t_]:=Soldey
Plot[y[t],{t,0,2},PlotRange->{0,15},AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{t,y},PlotStyle->Thick]

"Representación de las evoluciones temporales de x(t) e y(t)";
Plot[{x[t],y[t]},{t,0,2},PlotRange->{0,50},AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{t,"x,y"},PlotStyle->Thick]

"Representación de la trayectoria del sistema";
traj=ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2},PlotRange->{{0,50},{0,25}},AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{x,y},PlotStyle->Thick]

"Solucion de otro ejemplo y representación de la trayectoria";

k=0.1;soluc=DSolve[{x3'[t]==k*(E^(-k*t))*Cos[t]-(E^(-k*t))*Sin[t],y3'[t]==-0.6*k*(E^(-0.6*k*t)),x3[0]==4,y3[0]==4},{x3[t],y3[t]},t];
{soluc[[1,1,2]],soluc[[1,2,2]]};
ParametricPlot[{soluc[[1,1,2]],soluc[[1,2,2]]},{t,0,500},AxesOrigin->{2,2},PlotRange->{{2,4.5},{2,4.5}},AspectRatio->1,AxesLabel->{x3,y3}, PlotStyle->Thick]

"Solucion y obtención del diagrama de fases de otro ejemplo ";

k=0.1;
sol11=DSolve[{x1'[t]==k*(E^(-k*t))*Cos[t]-(E^(-k*t))*Sin[t],y1'[t]==-k*(E^(-k*t))*Sin[t]+(E^(-k*t))*Cos[t],x1[0]==4,y1[0]==4},{x1[t],y1[t]},t];
tray11=ParametricPlot[{sol11[[1,1,2]],sol11[[1,2,2]]},{t,0,150},AxesOrigin->{2,3},PlotRange->{{2,4.5},{3,5.5}},AspectRatio->1,PlotStyle->{Thick,RGBColor[1,0,0]}];
sol22=DSolve[{x1'[t]==k*(E^(-k*t))*Cos[t]-(E^(-k*t))*Sin[t],y1'[t]==-k*(E^(-k*t))*Sin[t]+(E^(-k*t))*Cos[t],x1[0]==3.8,y1[0]==4},{x1[t],y1[t]},t];
tray22=ParametricPlot[{sol22[[1,1,2]],sol22[[1,2,2]]},{t,0,150},AxesOrigin->{2,3},PlotRange->{{2,4.5},{3,5.5}},AspectRatio->1,PlotStyle->{Thick,RGBColor[0,1,0]}];
sol33=DSolve[{x1'[t]==k*(E^(-k*t))*Cos[t]-(E^(-k*t))*Sin[t],y1'[t]==-k*(E^(-k*t))*Sin[t]+(E^(-k*t))*Cos[t],x1[0]==4.2,y1[0]==4},{x1[t],y1[t]},t];
tray33=ParametricPlot[{sol33[[1,1,2]],sol33[[1,2,2]]},{t,0,150},AxesOrigin->{2,3},PlotRange->{{2,4.5},{3,5.5}},AspectRatio->1,PlotStyle->{Thick,RGBColor[0,0,1]}];
Show[{tray11,tray22,tray33},AxesOrigin->{2,3},PlotRange->{{2,4.5},{3,5.5}},AspectRatio->1]