"Solución, por la vía matricial, de un sistema de ecuaciones lineales de primer orden con  dos raices complejas";

"Elementos básicos del cálculo";

"Matriz"
A={{-3,4},{-2,1}};
MatrixForm[A]
"Valores propios"
ValProp=Eigenvalues[A];
{ValProp[[1]],ValProp[[2]]}
"Vectores propios"
VectProp=Eigenvectors[A];
{MatrixForm[VectProp[[1]]],MatrixForm[VectProp[[2]]]}

"Los valores propios son complejos, luego necesitamos";
"Valor de α"
α=Re[ValProp[[1]]]
"Valor de β"
β=Im[ValProp[[1]]]
"Valor de u"
u=Re[VectProp[[1]]];
MatrixForm[Re[VectProp[[1]]]]
"Valor de w"
w=Im[VectProp[[1]]];
MatrixForm[Im[VectProp[[1]]]]

"Solución vectorial"
solucion=c1*(E^(α*t))*(u*Cos[β*t]-w*Sin[β*t])+c2*(E^(α*t))*(w*Cos[β*t]+u*Sin[β*t]);
MatrixForm[solucion]
"Solución de x(t)"
solucion[[1]]
"Solución de y(t)"
solyy=solucion[[2]]

"Solución directa por Mathematica para unas determinadas condiciones iniciales";
"Solución de x[t] y de y[t]"
sol=DSolve[{x'[t]==-3*x[t]+4*y[t],y'[t]==-2*x[t]+y[t],x[0]==0,y[0]==2},{x[t],y[t]},t];
sol[[1,1,2]]
sol[[1,2,2]]
"Representación"
Plot[{sol[[1,1,2]],sol[[1,2,2]]},{t,0,6},PlotRange->{-3,3},PlotStyle->Thick]
"Trayectoria"
ParametricPlot[{sol[[1,1,2]],sol[[1,2,2]]},{t,0,6},AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}},AspectRatio->1, PlotStyle->Thick]