"Solución de la dinámica logística de crecimiento de la población para a=2; k=0.1; x0=0.01";
a=2; k=0.1;
sol=DSolve[{x'[t]==k*x[t]*(a-x[t]),x[0]==0.01},x[t],t];
sol[[1,1,2]]

"La representación de la trayectoria y el campo de vectores es:";
trayectoria=Plot[sol[[1,1,2]],{t,0,50},AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{t,x},PlotRange->{0,2},PlotStyle->Thick];
vectores=VectorPlot[{1,k*x*(a-x)},{t,0,50},{x,0,2},VectorScale->0.04];
Show[trayectoria,vectores,AspectRatio->1]