"Solución de la dinámica malthusiana de crecimiento de la población a tasa constante k=0.01 y x(0)=13";

"La solución es";
sol=DSolve[x'[t]-k*x[t]==0,x[t],t];
sol[[1,1,2]]

"El valor de la función en x(0) es";
x0=sol[[1,1,2]]/.t->0

"La solución para k=0.01 y x(0)=13 es:";
k=0.01;
SolParticular=sol[[1,1,2]]/.x0->13

"La representación de las trayectorias para valores iniciales 5,13 y 20, y del campo de vectores es"
trajectories=Plot[Evaluate[sol[[1,1,2]]/.x0->{5,13,20}],{t,0,150},PlotRange->{0,60},AxesOrigin->{0,0},AxesLabel->{t,x},PlotStyle->Thick];
vectores=VectorPlot[{1,k*x},{t,0,150},{x,0,60}];
Show[trajectories,vectores,AspectRatio->1]