"Soluciones de ecuaciones lineales de segundo orden homogéneas y de coeficientes constantes en los tres casos posibles";

"Caso de raíces reales y distintas";
SolDistintas=DSolve[{y''[t]+4*y'[t]-5*y[t]==0},y[t],t];
Sol=SolDistintas[[1,1,2]]

"Obtención de una solución particular para valores dados de la función y de la derivada";
SolDistPart=DSolve[{z''[t]+4*z'[t]-5*z[t]==0,z[0]==0,z'[0]==1},z[t],t];
SolDistPart[[1,1,2]]

"Comprobemos que verifica las condiciones impuestas";
SolDistPart[[1,1,2]]/.t ->0
derz=D[SolDistPart[[1,1,2]],t];
derz/.t ->0

"Representación de la sulución obtenida para el caso de raíces distintas";
Plot[SolDistPart[[1,1,2]],{t,-1,4}, PlotRange->All,PlotStyle->Thick]

"Caso de raíces reales e iguales, solución general";
SolIguales=DSolve[y''[t]+4*y'[t]+4*y[t]==0,y[t],t];
SolIguales[[1,1,2]]

"Solución para varias condiciones iniciales";
SolIguales1=DSolve[{y''[t]+4*y'[t]+4*y[t]==0,y[0]==3,y'[0]==7},y[t],t];
SolIguales1[[1,1,2]]
SolIguales2=DSolve[{y''[t]+4*y'[t]+4*y[t]==0,y[0]==-3,y'[0]==-7},y[t],t];
SolIguales2[[1,1,2]]
SolIguales3=DSolve[{y''[t]+4*y'[t]+4*y[t]==0,y[0]==0,y'[0]==0},y[t],t];
SolIguales3[[1,1,2]]

"Representación de las tres soluciones previas";
Plot[{SolIguales1[[1,1,2]],SolIguales2[[1,1,2]],SolIguales3[[1,1,2]]},{t,-1,4}, PlotRange->{{-1,4},{-5,5}},PlotStyle->Thick]

"Caso de raíces complejas, solución general";
SolComplejas=DSolve[y''[t]+2*y'[t]+2*y[t]==0,y[t],t];
SolComplejas[[1,1,2]]

"Soluciones particulares del caso de raíces complejas";
SolComplejas1=DSolve[{y''[t]+2*y'[t]+2*y[t]==0,y[0]==2,y'[0]==-1},y[t],t];
SolComplejas1[[1,1,2]]
SolComplejas2=DSolve[{y''[t]+2*y'[t]+2*y[t]==0,y[0]==-1,y'[0]==1},y[t],t];
SolComplejas2[[1,1,2]]
SolComplejas3=DSolve[{y''[t]+2*y'[t]+2*y[t]==0,y[0]==1,y'[0]==1},y[t],t];
SolComplejas3[[1,1,2]]

Plot[{SolComplejas1[[1,1,2]],SolComplejas2[[1,1,2]],SolComplejas3[[1,1,2]]},{t,-2,5}, PlotRange->{-3,3},PlotStyle->Thick]