"Solución general de y''[t]+y'[t]=t, y solución particular para y(0)=1 e y'(0)=1";

"Obtención de la solución y ajuste manualde las constantes de la solución particular" ;
Solucion=DSolve[y''[t]+y'[t]==t,y[t],t];
Ecuacion=Solucion[[1,1,2]]

"La solucion y su derivada en t=0 valen:";
Ecuacion/.t->0
DerSol=D[Ecuacion,t];
DerSol/.t->0

"Luego la solución particular buscada, y(0)=1 e y'(0)=1, corresponde a C[1]=2 y C[2]=3";
SolParticular=Ecuacion/.C[1]->2/.C[2]->3

"Comprobación en la particular de las condiciones exigidas";
SolParticular/.t->0
D[SolParticular]/.t->0

"Obtención de la solución particular para y(0)=1 e y'(0)=1 directamente con Mathematica";
SolPart=DSolve[{y''[t]+y'[t]==t,y[0]==1,y'[0]==1},y[t],t];
SolPart[[1,1,2]]
Simplify[SolPart[[1,1,2]]]

"Representación de la solución particular obtenida";
Plot[SolPart[[1,1,2]],{t,-2,5}, PlotRange->All,PlotStyle->Thick]